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(2023铁一中九年级上册数学压轴题)
16. 如图，AB=5，BC=10，以AC为斜边在AC的右侧作△ACD，其中∠ADC=90°，
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，当BD长度最大时，点D到BC的距离是________图片
解：方法一：作Rt△BCE使CE=6，BE=8，易知∠BCE=ACD，得∠BCA=∠ECD，CA：CD=CB:CE=5:3,故△ABC~△DEC，可DE=3，当点B、E、D共线时，BD取最大值11，当BD=11时，由等面积法可得D到BC的距离DG=
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方法二：作Rt△ABF使AF=4，BF=3，易知△ABF~△ACD，∠BAF=∠CAD，故∠BAC=∠FAD，AB：AF=AC:AD=5：4，得△ABC~△AFD，DF=8，当B、F、D共线时BD取最大值11，当BD=11时，由等面积法可得D到BC的距离DJ=
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方法三：作Rt△BCG，使BG=
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，CG=图片
得∠BCG=∠ACD，故△ACG=△BCD，而DC:AD=CB：GC=3：5，故△CDB~△CAG，BD=图片
，当AG取最大值时BD可取最大值，当A、B、G共线时，AG共最大值图片
，故BD的最大值为11，同理可得D到BC的距离为图片
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方法四：过点D作DM⊥BD使DM：DB=3:4，由此可得△DAB~△DCM，得CM=
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，当BM取最大值时，BD取最大值，当B、C、M共线时，BM取最大值图片
，故BD的最大值为11，同理可得D作BC的距离为图片
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方法五：过点D作DQ⊥DB使DQ：DB=4：3，由此可得
△DQA~△DBC，得AQ=
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，当BQ取最大值时，BD取最大值，当B、A、Q共线时，BQ取最大值图片
，故BD的最大值为11，同理可得D作BC的距离为图片
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点评：方法虽多，但核心方法其实是类似，就是利用构造手拉手相似转化线段长，构造方法不唯一，思维方式是一样的.这类问题一般可出在填空选择小题中，也可出现在几何综合压轴中，也可以出现在二次函数背景下，且最值问题类型比较多，建议同学们全面掌握，才有可能拿下压轴题.
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